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两类发展型方程新混合元格式pdf

归档日期:05-30       文本归类:反投影算子      文章编辑:爱尚语录

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  原创性声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的,学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为,否则,本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果,特此郑重声明. 学位论文作者(签名):林象必 二零壹零年岁月弓f日 使 用 授 权 声 明 本文在导师指导下完成的论文及相关的职务作品,知识产权归属郑州大学.根据郑 州大学有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印和电子版,允许论文被查阅和借阅;本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或 部分编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文和汇编 本学位论文.本人离校后发表,使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时,第一署名单位仍然是郑州大学.保密的论文在解密后遵守此规定. 学位论文作者(签名):林多2迸 二零壹零年5月多/日 摘 要 本文包含两部分,首先将一个Crouzeix—Raviart型非协调三角形元应用到双曲型 积分微分方程,给出了这类方程的新混合元格式,证明了传统Riesz—Volterra投影与有 限元插值的一致性,得到了与协调元方法完全相同的L2一模最优误差估计,同时还得到 了一般混合元格式得不到的日1-模最优误差估计.其次,将一个各向异性线性三角形元 应用到广义神经传播方程,并建立了一个新混合元格式,利用平均值和导数转嫁技巧,在 不需要传统的Ritz投影条件下得到了L2一模最优误差估计,最后,我们还给出了广义神 经传播方程任意阶格式的误差估计. 关键词:广义神经传播方程,双曲型积分微分方程,各向异性,非协调元,新混合元 格式. Abstract non- This is oftwo useaCrouzeix—Raviart papercomposedparts.Firstly,We type elementto the type conformingtrianglular approximatehyperbolicintegro-differential is forthiskind anewmixedfiniteelementschemeestablished problem. equation,and The ofthetraditionalRiese andthefiniteelement is uniformity projection interpolation thesame errorestimatesasthe finite elements, proved.Then,Weget optimal conforming is fortheusualmixed Atthesame cannotbeobtained time,the日1-normderived,which finiteelement linear elementis tothe schemes.Secondly,Aanisotropictriangular applied the useofthe nerveconduction new equation.Underformulation,by generalized type mean—valueandderivative andinsteadofthe Ritz technique projca- delivery generalized in errorestimates the errorestimatesL2-norm.At tion,We last,Theoptimal get optimal methodalsois forthe nerveconduction of orderfiniteelement given generalized type any equation. nerveconduction Words:;Thegeneralized typeequation;Thehyperbolic Key finite mixed typeintegro-differentialequation;Anisotropicmeshes;Nonconforming;New element. 目 录 引言………………………………………………………………………..1 第一章 预备知识…………………………………………………………..4 第二章 双曲型积分微分方程在新混合元格式下非协调有限元分析………………14 第三章 广义神经传播方程三角形元的低阶和任意格式的收敛性分析…………….25 参考文献…………………………………………………………………..35 附录 个人简历与硕士期间的主要研究成果…………………………………39 致谢…………………………………………………………………….40 引言 有限元方法是求解微分方程数值解的一个重要方法.早在1943年,R.Courant就提 出在三角形网格上用分片线性函数去逼近Dirichlet问题,这是有限元方法的基本雏形. 而真正的有限元方法是航空工程师们于20世纪50年代初提出,将其应用于求解简单的 结构问题,随后在固体力学、弹性力学、流体力学等领域得到广泛的应用,同样也使有限 元方法得到进一步的发展.有限元方法是古典变分(Ritz—Galerkin)方法与分片多项式插 值结合的产物.在60年代中期,以冯康先生为代表的中国学者与西方学者同时独立的奠 定了有限元方法的数学基础. 的一般理论,由于此理论的LBB条件限制太强。且不易满足.20世纪年80代初,balk 和Osborn又提出了一种改进的方法.随着计算机的蓬勃发展,至今有限元方法已为工程 力学界广范应用于各种定常结构问题的数值求解上,同时,在数学上建立了一套完整的理 论,成为数学研究者、工程师的学习和研究科目. 有限元方法就是将原始问题转化为相应的变分问题,然后构造能逼近变分问题的有 限维空间坛,此时求出的解称为有限维空间%的离散解,用它去逼近其无穷维的连续 解.逼近真解空间y的程度决定了有限元解u^近似真解U的程度.若%cy,我们称 之为协调元.否则,若vh仁V称之为非协调元.因为求解出来的解不属于原来的连续空 间y,非协调元一度被认为是非标准的有限元.然而,在实际问题中非协调有限元方法具 有很好的应用价值.非协调元不但容易构造、自由度少,而且从区域分解的角度看,非协 调元的自由度一般都定义在单元的边上,从而在局部数据信息传递中只与相邻的两个单 元有关,使刚度矩阵变得更加稀疏【5J,为计算带来很大方便.近年来非协调元已经取得了 巨大的发展[3-5,20--24,33—35】. 经典的有限元理论m是建立在单元剖分的正则性条件或拟一致假设的基础上的(即警≤ 九K为剖分单元K的直径,k戤= c或鲁哗≤C,其中PK为K的最大内切圆直径, 2 hK,‰n hK,c是一个与h无关的正常数,Th是区域的—个剖分族)·但在实 Km∈anx Km∈ilnk 际应用中这种假设的限制太强,而且有些情况下是不必要的.许多实际问题的解可能会在 1 边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征,即真解仅仅沿某一方向变化剧烈,此时标准的 有限元方法会失去原有的精度.再者,像薄的复合材料,模拟电机中转子和定子之间的间 隙,或模拟关节和髋部之间的软组织等,这些问题都直接定义在窄边区域上,若用正则性 网格进行计算,则计算量将非常大,解决此问题的有效方法之一就是采用各向异性剖分【8】. 此时传统的Bramble—Hilbert已不能直接应用,而且对于非协调元来说,传统的边界估 计方法也不再适用,因为此时对边界的估计式中会出现一个因子锻,它可能会趋于无穷 大,从而导致不收敛. 【8】给出了判别一个单元具有各向异性特征的抽象的基本定理,但 是没有给出在具体问题中如何实现. 【10】和【11】对这一定理进行了改进,给出了一个更 为一般的各向异性判别定理.并把它应用到许多实际问题,具有各向异性特征的单元,在 较小的自由度下能够得到与传统单元同样的最优误差估计效果[3,9-12】. 发展方程是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方程的统称,在力学、物理 及其他学科中,这类方程被用来描述随时间而变化的状态或过程.诸如Maxwell方程、热 传导方程、反应扩散和对流扩散方程、粘弹性方程、声波与弹性波方程、抛物方程,双曲 型方程、Schr+5dinger方程等.近年来,针对不同类型的发展方程,探寻可靠的高效、高 精度的数值计算方法一直是数学工作者和工程师们关注的热点问题.已取得了不少成果, H1一Galerkin是解决此类的一个行之有效地方法, 【1垂18】用H1一Galerkin混合有限 元方法分别研究不同的发展方程,得到了最优误差估计或超逼近结果.除此之外,有限体 积元法【19I、质量集中法【241、标准有限元陋一21】及混合元方法[1-2,22]也得到了广泛应用. 对带有记忆项的多孔介质中的对流问题的数学模型,即双曲型积分微分方程的初边 值问题. [1】采用混合元理论得到了U的L2模和H(div)模最优误差估计.[22】构造了 利用特殊技巧把非协调元用于Maxwell方程,【23】把非协调五节点元应用于了抛物积分 微分方程.本文,我们用非协调的Crouzeix—Raviart三角形元来逼近双曲型积分微分 方程的初边值问题,得到了H1上的最优误差估计. 广义神经传播方程在生物,力学等领域也有着广泛应用,文【25】研究了这类方程解 的存在唯一行,解的渐进性质及长时间行为,文[4,28】对其Galerkin有限元方法进行了 研究.但有关其混合有限元方法的工作还少见详细报道.由于混合有限元方法与标准的有 限元方法相比,具有可同时高精度逼近标量函数(信号)和向量函数(流量)的优点,能直 2 接得到线模最优估计,因而是该领域备受关注的热点问题之一.本文构造的新混 合元格式具有自由度少的优点,因而更受关注.本文研究了广义神经传播方程(1)的一阶 格式和任意阶格式,在没有引入传统广义椭圆投影的情况下,直接利用有限元插值技巧, 得到了未知函数u,u。,仳托以及伴随速度歹的最优误差估计. 本文的写作安排如下: 第一章:预备知识:列举本文中运用的记号及定理. 第二章:双曲型积分微分方程在新混合元格式下非协调有限元分析. 第三章:广义神经传播方程三角形元的低阶和任意阶格式的收敛性分析. 3 第一章 预备知识 1.1Sobolev空间及嵌人定理 范数公理: 设y为任一空间,其中l,忱∈Ka为任意的实常数,若 (i):IIv;vII≥0,lIv;vlI=0当且仅当V=o; (ii):IIVl+v2;VlJ≤IIVl;VlI+IIvy;vii; (iii):lIav;vII=Ialliv;vii.则称y为赋范空间. 设,p为n维欧氏空间,Q为彤。中的区域.用护(Q)表示一切定义在Q上的P次 可积函数组成的集合.L。(Q)表示一切Q在上本性有界的可测函数组成的集合.则按范 数 …Ip(n)=(如Iu(z)P如)刍,1≤P00 lIuIIp(n)=esssup。∈QI札@)I. 用C(f1)表示区域Q上m次连续可微的函数组成的集合(0≤m≤∞),且简记 co(Q)为C(Q). 设区域Q是舻中的开集,m是非负整数,设向量Ot=(口1,a2,…,a。),如果它的 每一个分量都是非负整数,就称O/是一礼重指数(指标),并记IQI=a1+口2+…+%, 并称其为n重指数(指标)的长度,则我们记D。=Dfl…巧:n表示a阶微分算子,其中 Di=击,Otl,…,a”. 定义内积为(“,V)=如uvdx. 果存在口∈上‰(Q),使得 上uD。lIodx=(一1)川/o可妒如,如∈曙(Q),(1.1.1) 则称u是u的川阶广义导数,且记为u=D口让. 设0≤m,1≤Po。,考虑函数空间 W”’p(Q)={u:Dnu∈Lp(Q),l口I≤m), 这个空间依范数 4 ID。札Ip如);1,1≤PCO INIIm护,n=(∑/o lalm… lI乱flm,。,n=牌坚ilD。¨lIo,oo. 1口l‘m 构成一个Banach空间,我们称之为Sobolev空间,并定义半范数 IuI。仍n=(.圣互ID。uIp如);,l≤poo IID。ull0,。。. I让I。mQ=.m.ax 也是一个Banach空间. 简记 日”(Q)=Win,2(Q),£留(Q)=w矿’2(Q), II·Im=0·II。,z,I·lm=I·l。,2. 于是H”(Q),钾(Q)是Hilbert空间,其内积为 (仳,u)。=∑(D。U,D。口),t‘,u∈H”(Q).仇=0时,”II即为范数. 1口l≤m c 定义1.1.2设x和y是两个赋范线性空间,如果(i)XY,(ii)X到y具有连续 的内射:即存在常数M=const0,使得 IlzIIy≤MIlzilx,比∈X. q 则称X嵌入y,记为Xy,称M为嵌入常数. q 定义1.1.3设x和y是两个赋范线性空间,如果(i)XY,(ii)X到y的内射 c 是紧的:x中的有界集是y中的紧集;即设BX是一个有界集,则在B中存在一序 qq 列使得在y中收敛则称X紧嵌入到y,记为X Y. Sobolev嵌入定理设QCfp为有界区域,其边界aQ是局部Lipschitz连续的, S 0≤m,0≤k,1Poo,则 Wm-l-k’p(Q)qWk,9(Q),m礼/p,1≤q≤np/(n一仃巾), Ⅵ,”+七’p(Q)·—÷Wk,。(Q),m=礼/p,q∈【1,oo),当P=1时,q=00. Ⅳm+七’p(Q)q萨(Q),mn肋. 注意Wm,p(s2)qC(Q)的含义是任一U∈W”,p(Q)必等价于c(壳)中的一个函数 (仍记为u),同时存在常数M使得 (1.1.2) lNlle(.)≤MII仳II。’p,Vu∈Wm,p(Q). 5 Sobolev紧嵌人定理设QC口。为有界区域,其边界aQ是局部Lipschitz连续的,m 为非负整数,1≤P00,则 s Ⅳ”p(Q)qq伊(‘2),1≤q P’,专=;1一m。,若mu/p; Ⅳm’p(Q)qq L4(Q),Vq∈【1,00),若m=n/p; W”,p(Q)qqCo(而),若mnip. 定义1.1.4设有界区域QC/P具有m阶光滑的边界,U∈c-(fi),线, ∞札:娑№JJ:o’1…,m一1. ∞札2瓦№,。u,l,..。,m—l‘ 称为迹算子,此处杀表示沿边界外法向的J次方向导数. 下面是Sobolev空间中常用的不等式. g∈Lq(Q),贝0 Ig(z)Ja如);, I上m)9(z)如J≤(如lm)Ipdx);(fez 7(乱)7p)nids,0≤i≤Ⅳ. 五“差如=一Z秒塞如+ZQ 其中,铊=(nl,礼2,...,nN)是区域Q的单位外法向量. Leibnitz公式如果f(x,£),o(t),6(£)是可微的,则 f(z,£)如. 丢Z:’,(z,£)如=,(6(味t)面d吣)一,(。(班£)面dn(£)+州Zab。()t’瓦a 带g的Cauchy不等式 n6≤£n2+磊52,(n,6。,EO). Minkowski不等式设1≤P。。,,,g∈护(Q),则 (上I,(z)+9(z)Ip如);≤(丘l,(z)lp如)吉+(上19(z)Ipdz);. 6 带£的Young不等式对于C(£)=(印)一;g一1成立 n6≤cap+c(£)6口,(a,b0,£O). GronwaU不等式设u(t)于【0,T】上连续且满足 y(£)≤珈+/o。A(丁)耖(丁)d丁, 其中A(7I)≥0且A(7-)∈L1(o,丁),则 删≤珈efotA(丁)打. 1.2有限元空间及其性质 用有限元方法来求微分方程的数值解,就是从该方程对应物理问题的变分原理出发, 将微分方程转化为一个与其等价的变分形式,然后对区域进行剖分,构造合适的有限元空 间%,然后对变分问题在坛上进行离散,从而求出其在有限元空间的近似解.构造的有 限元空间坛,一般情况下为一满足某种限制的分片多项式空间. 例如考虑Laplace方程的齐次Dirichlet问题: in onaQ 一△u=, Q,u=0 设y是Hilbert空间,对应的抽象变分问题为,求仳∈V,使 n(u,)=.厂(u),Vv∈矿 (1.2.1) 其中。(u,)=如VⅡVtJ,,(u)=如^给定区域Q的—个剖分族Fh,即Q 2热K·K称 2 2 2 diams 为剖分单元,hg diamK称为单元直径,h mscaKx Km∈aYx^hK称为剖分直径·PK 为单元的最大内切球直径. ,定义1.2.1若存在正常数C使得剖分族磊满足 K∈Fh,h一0, 一hK≤C,V PK K∈F,l,则称该剖分族为 则称该剖分族是正则的.如果还存在正常数,y,使得瓦h-7,V 拟一致的. 7 定义1.2.2两个有限元{詹,乓,£)和{K,R,∑)称为仿射等价的如果存在可逆的 仿射变换F:詹-÷K;圣Hz使得K=F(詹),P={P=1)oF~,p∈户),E={b:tap) 与e(p)定义形式一致,Vj:c∈塞). 定义L2.3若%cV,我们称此有限元空间为协调元空间.否则,称之为非协调元 空间. 插值逼近定理假设剖分Fh=UK是正则的,在参考元{K,Px,E)上成立下 KEI。h 列关系 W詹+1炉(疗)qC8(詹), W七十1巾(露)—斗I矿”,9(露), Pq Pk(K)cwm,q(K), 其中5为£中出现的最高阶偏导数,0≤m,0≤k,1≤P,q≤00.又设{(ZP,∑)) 是仿射等价的有限元族,则存在不依赖于K的常数C,使得对于任意的K∈rh和函数 u∈Ⅵ厂知+1,p(K),有 I一HKIm,。,K≤CIKI{一the+1-mIvl知+l,p,K.(1.2.2) 特别当P=q=2时,有 V—IIKVI仇,K≤Ch铲1-mI口I七+1,p,K. (1.2.3) 在定理条件下,有限元空间%上的插值算子n九将具有下面逼近性质: 一II^口lIo,ptn+hll,一H九uIllpn≤c九铲1IIullk+l’p,n,Vu∈Wk+l,p(Q).(1.2.4) Poincard不等式如果Q为连通且在一个方向上有界的区域,则对每个非负整数 m∈N,存在%=const0,使得 IIuIm,n≤(硫Iulm,n,V口∈HI(Q). 逆不等式设剖分r^是拟一致的,Vh是Fh上分片多项式函数,1≤7.,q≤Oo,l≤m, 则存在常数C=c(o,,y,l,m,7-,q),使得 (1.2.52) (∑川袅’gⅣ)i≤Ch一一‘0一n一詈’h卜仇(∑川k);. KeTh KeTh 特别当r=q=2时可有 (1.2.6) (∑M象,K)5≤Ch㈤(∑Ivhl,2,K)5 KETh KeTh 我们通常用到的逆不等式为 1≤P≤。o,?3h∈圪. (1.2.7) Vh[]l霸n≤Ch一1IIvhllo,pn, 1.3有限元方法中的一些引理 下面考虑抽象变分形式(1.2.1)的离散问题,对协调元空间,用有限元方法求解变分 问题(1.2.1)的离散形式为:求札^∈vh,使得 a(uh,%)=f(Vh),Vvh∈Yh. (1.3.1) 其中a(uh,Vh)=如VuhVvh,关于其解的存在唯一性及误差估计有如下引理. 函,如果口(·,·)满足: (1)存在正常数M,使 Ia(u,u)l≤Mllullllvll,Vu,钞∈V,(有界性) (2)存在常数∥0,使 Ia(v,口)I≥刚训2,讹∈V,(强制性) 则对任意的f∈V7,存在唯一的札∈V,使得 a(u,口)=,(口),讹∈V, 其中y7是y的共轭空间. 有唯一解,且 S (1·3·2) lI仳一札_『Ilie I}u一%lIE, C%in∈坛f 9 其中”怯为能量模,即11wllE=(o(叫,tU)){. 对于非协调元空间,变分问题(1.2.1)的离散形式为:求?th∈%,使得 ah(uh,Vh)=f(va),Vvh∈%. (1.3.3) Vu_IlV%· fK 这里%(u^,%)-EK Bramble—Hilbert引理设Qc彤是有界开集, aQ分段光滑,具有Lipschitz 连续边界条件,如果线性泛函f∈(wk+l,p(Q))7,k≥0,P∈【1,+o。),具有性质 Y(p)=0,Vp∈Pk(Q). 其中R为k次多项式空间,则对任意的秒∈Wk+l,p(f2)有 f(O≤c(Q)Mhl,p,Q。lVlk-I-1,p,n. 这里IlfllTc+l,n,.=一su川p,,嘏‰· 连续双线性泛函,并且在虼上强制,U和Uh分别为(1.2.1)和(1.3.1)的解,则 (1.3.4) Ilu-uhll日≤ct口i罂矗IIu—VhllH’+。∈s%up\{。)坚掣). 1.4混合元理论 许多实际问题都可以转化为抽象混合变分形式,例如仍考虑Laplace方程的齐次 Dirichlet问题: inQ.u=0onaQ 一△u=f 其相应的变分形式为;求(仳,P)∈H×M,满足 , {口(u,)+6(,p)=F(u),Vv∈H,(1.4.1) 、 、上‘1‘工, 【6(乱,g)=G(g),Vq∈M· 为日和M上的连续线)口(·,·)在H×H上是正定的,即存在常数Ot0,使得 10 a(v,u)≥QIl训I备,V秒∈Z,‘ 其中z={u∈H]b(v,q)=0,Vq∈M). (2)6(·,·)在H×M上满足BB条件,即存在常数p0,使得 。s∈u日pb㈣(v,日q)·≥刚IM,vg∈M. 则变分形式(1.4.1)有唯一解(u,P)∈H×M. c c 设Hh,Mh为日和M的有限元逼近空间,若HhH且MhM,则称为协调元 空间,其混合变分问题的离散形式为:求(Uh,Ph)∈Hh×Mh,满足 + ‰ 曲 IF V‰∈玩, (1.4.2) = 酞G “∈ ,-lI--CllIl 如‰ 蝴∞ 饥弘L Ⅵh n% 其中a(uh,Vh)=如UhVhdxdy,b(vh,qh)=如vhdivqhdxdy. 基本定理2若双线)o(·,·)在Hh×Hh上满足强制性,即存在常数Q0,使 a(vh,Uh)≥aII^I}备,VVh∈玩, (2)6(·,·)在玩×Mh上满足BB条件,即存在常数卢0,使 眯su玩p币b(Vh石,qh)p11酬M,‰∈%. XMh.且有下面的误差估计式成立: 则离散格式(1.4.2)有唯一解(札_h,Ph)∈Hh P一饥11). 让一uhll,,+Ilp—mIIM≤(。j到吏。乱一%o日+ XMh,满足 对非协调混合元相应的变分形式为:求(Uh,Ph)∈上h 跏 +h 肌 Vvh∈风, (1.4.3) =G 以∈ ,Illl-(1llL 咖 ‰‰ 岫鳓 ‰㈤, 卜‰ 吣螈 其中%(u^,vh)2丢ku^vhdxdy,bh(vh,qa)2丢Jk%班秒qhdxdy· 若(1.4.1)和(1.4.3)分别有唯一解(u,p),(Ith,Ph)则有下面的误差估计成立: lu一_『111日+I囟一m Ilu—vhll,,+P一吼11) JJM≤(0∈n玩f (1.4.4) + sup %∈日h 11 1.5各向异性基本定理 各向异性定理1【9】设PQ是多重指标集,7是一个多重指标,且设7=(,y1,…,%),7+ QC 且满足 (1):只(D1Jt正)=R(DYu),i=l2’..‘,J,讹∈cpnⅣ(Q+7)p; (1.5.1) (2):R(DTa)=0,i=1,2,…,J. 则存在常数C与U无关,对于任意的u∈CuNH(O+,y)p,有 II乱一Iullo+-r,p≤cluIo+,y,P. 基本定理1给出了判定某区域是否具有各向异性的一种方法,但是在实际问题中只 的选取比较困难,下面给出一种改进的方法.设露为参考单元,P是詹上的一个m维 多项式空间,P7是P的共轭空间.设{A,痈,…,砩)和{嘶,庇,…,厩)分别是P和 P’的一对共轭基,则 批(R)=勃,1≤t,J≤m. 设J『:H知(露)_P,k1是有限元插值算子,满足 疵(而)=疵(移),i=1,2,…,mⅦ∈P. 基.于是D7(知)∈D7户可表示为 ”罩 r D7(局)=∑疵(o)D7最=∑岛(移)彩. i=l j=l 显然,岛是{D“7P“i}7的线性组合,而岛(移)是{疵(o)}?的线性组合.设 m 岛(o)=∑饥疵(o). 则有 m m 岛(o)=∑m庇(毋)=∑饥疵(知)=岛(知). 12 各向异性定理2[111:若岛(0)能表示成 岛(o)=乃(D7移),1≤J≤m, 其中乃∈(Hs(詹))’,1≤i,J≤m,同时局(詹)CD7户,2≥s一1,则存在常数c(霞)满 足: lib7(缸一i也)llt,露≤c(g)lb7砬ll+1.霞,0≤t≤z+1,V砬∈HI,yI+“1,膏. 第二章 双曲型积分微分方程在新混合元格式下非协调有限元 分析 2.1引言 双曲型积分微分方程在具有记忆性质材料的热传导,核反应动力学,粘弹性力学, 生物力学,松散介质中压力等实际问题的研究中有着广泛的用途.也有很多关于它的文章 【13-20].文[13】考虑非线性双曲积分微分方程半离散有限元格式,得到L。和彤1,”模误 差估计. 【14】用Ⅳ1一Galerkin混合有限元法对双曲型方程进行误差估计,【15】采用新 H1一Galerkin混合有限元格式对双曲型方程进行了误差估计和超收敛分析,它们使得两 个有限元空间%和wh可以取成不同的多项式空间,而且不需要验证LBB条件,但是 它们都要求解得正则性要高. 本文中我们采用的新混合元格式具有自由度少的特点,这将大大减少我们的计算量, 节约大量时间.同时在新混合元格式下,我们可以使得空间坛cwh,从而无须验证LBB 条件.由于发展方程形式上的复杂性,文献【13-15】研究的都是协调元,而对于双曲型积 分微分方程的非协调元的研究很少见,本文将采用非协调三角形元.而且我们抛弃了传统 Ritz—Volterra投影,直接利用插值理论和一些特殊技巧得到了收敛性分析和相应的误差估 计. 考虑下列双曲型积分微分方程【1】 r I {Ⅱ(z,0)=uo(z),牡t(z,0)=ill(z), z∈Q, (2.1.1) I让(z,t)=0, (z,t)∈aQ×(0,明. cR2是有界矩形区域,V和V·分别表示梯度和散度算子,a= 其中X=(z,y),Q 满足0Coac1∞,并假设对于任意的f∈C1(o,T;L2(Q)),?Z0∈H8(Q), ul∈Hs(Q)(s为一个固定整数),问题(2.1.1)是唯一可解的【1】. 14 令 矿=一“Vtt—Z。6,(叫,丁)Vu(叫)加 并设 Q(z,t)=a-I(z,t),b(x,t,7-)=Q(z,t)b1(z,t,7-). 则问题(1)可写为如下的混合一阶系统: 牡托+疵硒’=,, (z,t)∈Q×(0,T】, 晒+Vu+后bVudT=0,(z,t)∈Q×(0,叫, (2.1.2) u(x,t)=0, (z,t)∈aQ×(0,卅, u(o)=UO,ut(O)=Ul, z∈Q. 使得 铷∈U0t≤T, 巨豢袅沪。, Vq∈M,0t≤T, (2.1.3) 相应的混合有限元逼近为:求(Uh,磊,):【o,T】一vh×厩 一 .mVh= , Ⅶh∈圪,0t≤T, 砜 + 蝴w =0 (2.1.4) 、J、J + ^后 ‰ 1_鼽h Vqh∈Mh,0t≤Z : 蛳 ‰ h乱小 ?‰帅舭厩棵 蝴鳓卜 舢@吣鳓卜 其中(u,钞)^2若kuu如咖· 定理2.1.1问题(2.1.4)存在唯一解. 证明:设{仇}2l和{奶)銎1分别是vh和厩的一组基,则锄和而可分别表示为 缸,l=∑吃(£)仇(z), i1 r2 . 磊=∑毋(t)历(z). j=l 15 则(2.3.2)式可变为如下的等价形式 A挈一BG(t)=,, (2.1.5) aBG(t)+AhH(t)+后bAhH(t)dT=0, H(0)=ljuo(O),c(o)=魔而(o). 程组 A掣可1舭∽+aIo。M删岫=, 已知A是对称正定矩阵,且口,b都是连续有界函数,从而由常微分方程的Carathe5dory 定理知,当t0时,H(t)有唯一解,进而a(t)有唯一解,即方程组(2.1.5)有唯一解. 2.2三角形单兀的构造与误差估计 分别为矗=丽,乞=丽,毛=石石,在詹上定义有限元(詹,ti,户,)和(露,宝o,户0)如 下: 挚={高厶移必咖},p=却帆{l}, Z移嫩d叩,(i1,2,3)炉=3加礼㈦叩卜 宝1={魂2而1 任给移∈H1(露) ,1=(魄+0l一仍)+2(如一如)∈十2(锄一01)叩; 任给方=(p,,庇)∈(H1(詹))2 j2=(2厶庐-蜓却,2厶南武d叼). 容易验证对上述定义的插值是适定的【391. 设n a$J--ZffC-gN静I#N,Q c)和 2姑。露,此时要求剖分满足正则性(警s ’,’mn K 16 ZIl 戤入 (2.2.1) y= 纨入 ,-Il-I■(■●~ 3∑譬∑汹 首先,我们声明此文中所有的范数均采用[7】中的范数形式,文中出现的C均代表 正常数,不同的地方可能有所不同. 定义插值算子 露:∈H1(Q)_圪,露口=J『1uo赡1; 露:歹=(p1,仡)∈(H1(Q))2一厩,露户=j26坛1. 则相应的有限元空间定义为 Yh={‰;%lK=117)∈户1(露)oF~,VK∈n); 厩={厩=(m1,Ph2);mi=露鼽,i=1,2). 们介绍几个重要的引理. 引理2.2.1122]若歹∈(H1(Q))2,则对任意的Vh∈%,有 ∑ZK砒刊sI≤c^刚…-,^, (2.2.2) 更进一步,若歹∈(H2①))2,有 ∑ZK鲰·钆dsI≤c^2……,加 (2.2.3) 引理2.2.2若歹∈(H1(Q))2,则对任意的Vh∈%,有 (Vvh,p-)Jl=0. 证明:由插值算子的定义知 2 (Vvh,p-),l wh(f—gp-)dzdy 5K:fK 2 VvhlK (2.2.4) K lK婚一12p-)dxdy ==0 17 引理得证. 引理2.2.3若Vu,V∈ftl(‘2),b(x)有界,则有 u u (U,雎(如))≤CII lIolI 0. 证明:由插值算子的定义及HSlder不等式 (仳,以(幻))2若丘乱靠(的)dz句 ≤CK udxdy I吾II乱II。南k (2.2.5) ≤CK K I舌 1吾11乱II·南11II·I =Cu lI IV0 从而引理得证. u∈H2(Q)n 定理2.2.1设{札,刃和Uh,磊)分别是(2.1.3)和(2.1.4)的解, 础(Q),歹∈(H1(Q))2时,则 U--Uh ut utt It uII;+IIll;+II IICh[I让11+(fo‘(I o歹一磊11_Ch[I F1t+(Z‘(1u屺+II毗眩+11 证明由(2.1.3),(2.1.4)和引理2.2.2可得如下的误差方程; j‰m)-E‰)=-(缸胁)+磊k融d5, (2.2.8) (2.2.8)的第二式对t求导 (Q吼+Qt伊,磊)+(V77t,磊) (2.2.9) =一(Q反+Qt反磊)一(V已,蔬)一((g(bvu—bVuh)dT)t,磊). 在(2.2.8)的第一式中取%=吼,在(2.2.9)中取最=万然后相加可得; (啦,吼)+(Q玩+乜。瓦西 ^∈1k 5 =∑G‘ (2.2.10) 18 由于。是有界函数,所以(2.2.10)的左端司表不成: II Q{矿l培 三忑d II训3+互l蕊d 下面我们逐项估讳(2.2.10)的右端. 利用Cauchy不等式,HSlder不等式和引理2.2.1得 G。S II乱托I;+cIl仇I3 c(II∈扰I培+仇l惜)≤Ch4 G2≤Ch2 Il歹ll;+el0仇l孔 G3≤Ch2(I歹II;+II赢旧)+CII gll3 G。≤Ch2 lIu。II;+cII歹113 由leibnitz,s公式 -.tt _. G5=(6(Vf+V7),6’)+(二6t(V∈+V叼)d丁,p) ≤C(1l II歹幅 I睦_Il+II叼lI孔+/o‘(o∈II孔+II叼Ilfh)d丁)+c 于是,有 Q{O II 113 ≥爰II仇113+互l面d ≤Ch2(1lⅡII;+IIU。II;+Ilt正托旧+I}歹旧+I厩I} (2.2.11) u11;dT)+ClI歹113+elIl仇I孔+c尼Il叼I孔dT +后II 在(2.2.8)式的第二式中取磊=V叩可得 所以,只需要取e={, I}77 g o孔≤c(e。)(1I +4e2 II叩慨 由Gronwall引理得 u Il矿I恬 (2.2.12) II叩I懵,l≤Ch2(1I歹I曙+II 11;)+Ch2/o。II牡喝打+c 1Q 将上币式te.A【2.2.11),并对其两边从0到£积分 II,7,112+o(IIg-ch2 g1112+II fo。(…2+№¨№;+IIf,舭丁+e,巾吼慨 (2.2.13) 由Poincdre不等式及Gronwall引理,只需取足够llNE1即可得, if 77ti12+li 0ifg_Ch2厨I牡肌ii 因为77(o)=0,77(£)=露?]tdr,所以 d,- 帅IIg_fo。№IIg 从而 II,7112+㈣2 ut£f;+IIg11;+忪㈣打(2.2.15) Ch2翩u岍№IIg+It 利用三角不等式,定理1得证. 另一方面由(2.2.12)式还可以得到 ut幢+lI让。t幢+IF幡+lI厩Iti)d丁 。叼limb_Ch2(II歹lI;+o乱幅)+Ch2/o‘(o缸II;+o (2.2.16) 再次应用三角不等式.即可得蛰I让的H1模估计. 2.3非协调矩形兀的构造与误差估计 (1,1),a。=(一1,1),四边分别为矗=瓦瓦,乞=瓦石,毛=石面,厶=否石.在露上定义有限 元(/i,宝1,P1)和(/i,竞2,P2)如下: 宝1=(01,如,仍,瓯,魄),P1=Span{1,专,77,妒@),妒幻)), 3,4)),P2=Span{1,f)×(1,叩). 宝2={哦2么廊,(江112,2 下插值算子; 2n 任意的O∈H1(膏) 任意的石∈(H·(露))2 J『2石=(三(勃+吼)+丢(晚一乱)∈,三(4s+西。)+丢(如一每。)77). 容易验证上述定义的插值是适定的,且满足各向异性定理【421. c 为简单起见,设Q R2是边平行于坐标轴的矩形区域,n是Q的矩形剖分族. 任意的单元K∈Fh,其两边分别平行于z一轴和耖一轴,四个顶点分别为al=(XK— 变换取:K_K {z=zK+^z荨; (2.3.1) I Y=YK+hut/. 相应的有限元空间定义为: 坛={Vh;V^IK=玩。坛1,魂∈plVK∈Fh】., 厩={磊;磊IK=赢。坛1∈Q10(K)×Qol(K),VK∈r^’. 坛茌V厩c砑,故此有限元空间为非协调元. 们介绍几个重要的引理. 引理2.3.1[22】若ge(H1(Q))2,则对任意的Vh∈K,有 I莓以K西hndsl冬c^l翻,It,^ll功, (2.3.2) 更进一步,若Ce(日2(Q))2,有 l∑K以K西hndslch2lp3。II%II-加(2矗3) 21 引理2.3.2若Vu,V∈H1(Q),b(x)有界,则有 (U,珐(幻))≤Cll uIIollu. 证明:由插值算子的定义及H61der不等式 (u,露(幻))2丢厶uIJ}(bv)dxdy ≤cK u l ul如咖 15II II’南k (2.3.4) ≤CK K I f孝 rift“fI·丽1忡”I =C Il UllV0 从而引理得证. 定理2.3.1设{“,刃和{u_『l,厩)分别是(2.1.3)和(2.1.4)的解,u∈H2(Q)n 础(Q),歹∈(H1(Q))2时,则 u—u_『l Il 11≤Ch[I tfl+(Z。(I乱1122+Iut P fI歹一痈11≤Ch[I 证明由(2.1.3),(2.1.4)可得如下的误差方程; 卜胁)_@矾曲一(‰厕-(缸m)+磊k胁如,(2.3.7) 将(2.3.7)的第二式对t求导 (以+at0,磊)+(V仇,磊) (2.3.8) =一(&磊+毗反4h)一(V&,磊)一((后(6V仳一bVuh)dv)t,磊). 在(2.3.7)的第一式中取2)h:仡,在(2.3.8)中取磊:歹然后相加可得: (啦,仇)+(Q玩+Q。瓦西 (2·3·9) =(V叩t,力一(缸,吼)+K∑eTaJ赢预77t一(a厦十at反口)一(V&,p) 一((露(6vu—bVu,I)打)。,西:∑6域 iI 由于Q是有界函数,所以(2.3.9)的左端司表不成: 77t Q2…o II Iio 妻丢It ii02+互l鬲d 下面我们逐项估计(2.3.9)的右端. 利用Cauchy不等式,HSlder不等式和引理2.3.1得 D1+D3≤Ch2I歹畸+El0仇0孔. D。≤Ch2(11歹I;+II磊1121)+C0歹113. D2≤Ch2 IUtt旧+cII仇略. D。≤Ch2 II札。II;+cII(113. 由leibnitz,s公式 -. ft -. , D6=(6(V∈+V77),19)+(以bt(V∈+Vr})dT,O) II g113 ≤ccII,∈ll孔十1叩iiih+/o(1l∈l孔+It,7幅^)d丁)+c 于是,有 Q{g lI 113 ;爰II讯惦+互l面d u (2.3·10) ≤Ch2(IIlI;+I}毗悒+0u。£旧+I歹旧+I磊瞻 U 77I懵l『ldT +后IIII;dT)+CII(113十e1I仇I曙^+Clo。Il 在(2.3.7)式的第二式中取磊=V叩可得 所以,只需要取e=18, …‰≤c(E2)(I…2+It ZIl2+…12+尉…孔+㈩氟)打) +4E2 I}叼慨 由GronwaU引理得 t l?7l擂^Ch2(11歹llf+u111)+Ch2Ilu喝打+cI歹112 (2.3.11) 9冀 将上币式代入(2.3.10),并对买曲边从0到t积分 №n li (2.3.12) 由Poincdre不等式及GronwaU引理,只需取足够小的E1即可得, u utt f仇ii2+ll歹113≤c危2II;+ii札tII;+Il I屋+}I歹lI;+li幅)d丁(2.3.13) Z。(II 因为77(o)=0,77(£)=名叩£dT,所以 ii 77 ill‘il酬3打 从而 g u I})打(2.3.14) …12+ti JI;+ii饥叶liu棚+㈣12+li 112≤c九2尉I 利用三角不等式,定理2.3.1得证. 同样由(2.3.11)式还可以得到 1t12)d丁 (2.3.15) 再次应用三角不等式.怕.可以得蛰I札的H1模估计. 第三章 广义神经传播方程三角形元的低阶和任意阶格式的收 敛性分析 3.1引言 在神经传播过程中,神经传递信号及它关于时间和空间的变化率,在数学上表现为 一类非线】 ut£一Aut—div(b(x,t)Vu)一,(u)u£一90,)=s(z,£),(z,t)∈Q×(0,T】, (3.1.1) u(z,t)=0, (X,t)Oft×(0,引, u(z,t)=乱o(z),tlt(z,0)=t正1(z), z∈Q. C 其中Q R2为有界凸区域,aQ为其光滑边界,b(x,t)及其偏导数光滑有界,,(乱),9(让) 及其偏导数对变量u满足Lipschtiz连续且均为有界函数. 神经传播方程在生物,力学等领域也有着广泛应用【2】,文【3,4】研究了这类方程解的 存在唯一行,解的渐进性质及长时间行为,文【5,6】对其Galerkin有限元方法进行了研 究.但有关其混合有限元方法的工作还少见详细报道,尤其这一新的混合元格式就更加罕 见.由于混合有限元方法与标准有限元方法相比,可同时高精度逼近标量函数(信号)和 向量函数(流量),因而是该领域备受关注的热点问题之一.又本为研究的新混合元格式 具有自由度少的优点,因而更受关注.本文研究了广义神经传播方程(3.3.1)的一阶格式 和任意阶格式,在没有引入传统广义椭圆投影的情况下,直接利用插值技巧,得到了未知 函数U,让。,仳托以及伴随速度歹的最优误差估计. 3.2单元构造 为简单起见,我们先来讨论低阶格式.设詹为∈一叩参考单元,其三个顶点分别 上构造有限元如下。 金1={钒=移(啦),(i=1,2,3)),Pl=Span{1,f,叼), 25 故V移∈H1(露) J『1移=番l入l+V2A2+讥A3 (3.2.1) =01∈+02叼+伲(1一专一?7). 挚=‘丽1厶移张d叩},岛=却。n{1). 啦=(痧。,国)∈(H1(露))2 ,2方=(2厶p·必机2.,£一2一一.:^Cl,C2). 简单起见我们设Q为两边分别平行于坐标轴的矩形区域,设n是Q的如下形式的 xK),a3=(XK,觚),三边分别为fl=瓦甭,12=—a3—al,13=—al—a2 2 并且%,K《hx,K,h hz,K,显然剖分不满足以往文

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