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数学上经常说「线性代数、线性空间、……」到底何为?为什么在诸

归档日期:05-03       文本归类:反投影算子      文章编辑:爱尚语录

  数学上经常说「线性代数、线性空间、……」,到底何为线性?为什么在诸多概念中反复强调?

  非常的直观、清晰,深入浅出,适合所有初学者。看完最后一讲基本上就能知道为什么要这样定义「线性」,有什么用处,能够拓展到哪些领域,等等。

  附带说件事,对喜欢这系列视频的知友应该是个绝好的消息:视频原作者3Blue1Brown应B站几位字幕译者的联合邀请,已同意在B站设立官方账号:3Blue1Brown @ Bilibili,今后他在Youtube发布的精彩视频都会在B站上持续发布中文字幕版,大家可以去B站关注和支持。中文字幕翻译可能会慢一点,做不到跟Youtube同步发布,但翻译质量绝对有保证。

  3Blue1Brown接下来计划要做的视频系列包括「微积分的本质」「概率的本质」「实分析的本质」「复分析的本质」「常微分方程的本质」等等。目前他正在制作「微积分的本质」系列中,全系列制作完成后才会发布,预计4月底可以完成,值得期待一下。此外他还会经常制作像「最速降线问题」「希尔伯特曲线」「用莫比乌斯带巧解内接矩形问题」之类的单个视频,基本上每两周发布一个。

  导数就是线性化——局部用线性函数逼近非线性函数。整套微积分就是线性化。用弧长微元近似代替曲线来求长度,这就是用线性对象来逼近非线性对象。矩形面积=长*宽,双线性运算;用小矩形面积求和取极限求取曲边形面积,这就是线性化。数学家在具体运算方面的大部分工作就是把非线性对象线性化,比如更高级的,非线性偏微分方程的线性化。线性不是什么数学家凭空造出的概念,他就是人类的本能思维,只不过数学家把这种粗糙的想法系统化抽象化而已。

  很容易知道,两个这样形式的方程叠加起来,依然是这样的形式,体现在二维平面中依然是直线,那么做一个流氓的推广,给x及系数以序号,把y变量变成变量x的形式,并且增多一点变量,就成为了一般的线性方程:

  虽然在几何上不直观,但它依然满足线性条件,许多个这样形式的方程叠加依旧是这样的形式,你可能觉得这没什么稀奇的,但当次数是一次的时候,满足一个很基本的线性等式:

  这个等式意味着,我们可以把一个整体的结果分成若干个部分来研究,它们各自本身形式是相同的,两个作用对系统作用的结果等于它们之和对系统作用的结果,举一个很形象的例子就是,你我同时向一个杯子里倒水,两注水一开始有一定距离,然后我们相互靠近,使得水在空中交汇成一道流往杯子里流,只要我们倒水流量之和不变,这两者对系统而言是等价的。

  事实上这是一个很苛刻的条件,强调线性,也是强调这个抽象的函数等式。因为实际生活中大部分系统是不满足这个条件的,线性代数正是一个由简单出发来研究复杂问题的思路。

  一个非常重要的原因是,这一类的方程的解的形式是最简单的,多元高次方程的解非常复杂甚至可能没有解析解。而我们在初中就已经学习过二元方程的解法中的加减法和迭代法,对于多元一次方程,方法我们普通人也可以如法炮制,数学家们利用线性的特点,给出了这一类方程最简便的解法,通俗点说,就是公式解,因此有了行列式和扩充矩阵等概念。这样就不用我们手算加减,计算机可以直接给出大量变量的解。这对于经济学和其他复杂多变量问题的研究是非常有利的近似方法。

  我来讲讲为什么要强调线性。源头上讲,因为牛顿物理是一个对这个世界足够好的近似和刻画,其所在的空间就是一个线性空间。换句话说,不要误会,我不是针对你,我是说在座的都是垃圾,包括我。我们只能感受到空间的线性性。所以线性代数有用,因为它是对物理世界一个很好的抽象。所以线性代数好学,因为你身上的基因已经花了几十亿年来熟悉线性这个概念(所以请坚信自己能学好线性代数)。

  。这条性质用更生活话的语言描述就是:空间有条线段,太阳出来啦。阳光给这条线段一个投影。得到了另一条线段,你把这条线段平移出来,又会得到一段新的投影。但新的投影显然和旧的投影是相同的。这个估计小学生都能理解。线性的定义有八条,我们去掉几条,就可以得到群的定义。你以为定义少了,问题就简单了?根本不是。比如群论里最基础的拉格朗日定理:

  首先,「线性」这个词既可以用来形容「名词」,即「线性空间」,也可以用来形容「动词」,即「线性变换」。

  先说线性空间。线性空间,就是装备了加法、数乘两种运算,并满足下面 8 条公理的集合:

  线性空间为什么重要呢?一是因为它十分常见:数学研究与应用中遇到的很多集合,在其上定义的加法和数乘都满足这些公理;二是因为这些公理让线性空间具有了与 R^n 同构的「平直」的结构,这种结构是最简单、最容易研究的。

  可能有很多人觉得线 条公理是理所当然的,看不出它们的重要性。那么,我们可以看一看不是线性空间的集合是什么样的。一个很好的例子是角度。角度的加法,可以定义为普通的加法再对 360 度取模,这样 [0, 360) 这些度数的角构成交换群。但是,角度与实数之间的数乘,定义时就会遇到困难:90 度与 1/2 相乘是多少呢?是 45 度还是 225 度?线 条公理是 a(bv) = (ab)v。取 a = 1/2,b = 2,则有 1/2 * (2 * v) = v。不管定义 90 度与 1/2 相乘是 45 度还是 225 度,这个式子都不可能在 v 取 45 度和 225 度时都成立,所以角度不构成线性空间。这种不「平直」的空间,研究起来就复杂得多了。

  再说线性变换。线性变换是满足叠加性 f(x + y) = f(x) + f(y) 和齐次性 f(ax) = af(x) 的函数。这两条性质可以合起来写成 f(ax + by) = af(x) + bf(y)。同样地,线性变换之所以重要,一个原因就是因为它在研究和应用中非常常见。但它为什么常见呢?原来,叠加性允许我们把输入拆分,分别研究它们在变换下的输出再叠加起来;而齐次性则说明变换有一分输入就有一分输出,变换的规律不随输入的大小而改变。这两个性质,就像线 条公理一样,显得「理所当然」。

  有了叠加性和齐次性,我们就可以把输入拆分成若干个「基本输入」的线性组合,分别研究它们的输出了。什么样的输入最「基本」呢?答案是变换的特征向量,它们在变换下只是进行了放缩而已,并没有改变面貌。由此就发展出了强大的「谱分析法」,即把输入拆分成特征向量的线性组合,分别计算输出然后叠加。有些线性变换的效果看起来很神秘,但谱分析法能够直捣黄龙,击中要害;有了谱分析法,线性变换就成了最容易研究的一种变换了,这种容易自然也让线性变换成为入门时的学习重点。

  更新:最初写答案时,我只考虑了线性空间定义在实数域上的情况。线性空间也可以定义在其它域上,其中有些情况还会很好玩。不过,从实用的角度来看,还是定义在实数域上的情况最常用。

  我们经常听到线性代数、线性时不变、线性方程组等等,其实这几个线性都说的是一回事,都翻译为linear。

  若某数量关系的函数图像呈现为一条直线或线段,那么这种关系就是一种线性关系。

  更本质的是代数定义:如果一种运算同时满足特定的“加性”和“一次齐性”,则称这种运算是线性的。

  你带n块钱走进这个房间,出来钱就变成了2n块;那么,这个房间(系统)就具有“一次齐性”。

  如果你再带3+4=7块钱走进这个房间,出房间后钱变成了14块;那么,这个房间(系统)就具有“加性”。

  线性系统也就是:输入增加多少倍,输出就增加多少倍;若干次输入加起来一同送入系统的输出,等于将若干次输入分别送入系统的若干个输出相加。

  如果描述某个系统的方程其输入(自变量x)增加多少倍,输出(因变量y)也增加多少倍,则称它为线性微分方程,当然,这个系统称为线性系统。

  重点注意,线性系统的冲激响应,或者阶跃响应,或者由其它激励产生的响应,不一定是直线,完全可以是曲线。

  线性指的是:冲激强度(输入)增大两倍,相应的响应也会随着增大两倍。它描述的是输入和输出之间的影响关系,而不是说输出本身是神马样子。

  看具体例子,一个是三维空间,里面的向量是既有大小又有方向的量。所谓大小,直观上看是长短,量化之后就是所说的模,伸缩变换,用数学语言来说就叫数乘;至于方向,这就把三维空间与一维的数轴彻底区分开了(其实一维也有方向,只不过体现的不明显),三维空间按平行四边形法则,定义了两个不同方向的向量的“加法”,这里说加法,只是借用数的加法这个名词而已,其内涵大大不一样了。这样一来,三维空间里有了一个运算,名字叫做加法。实数有两个运算运算,一个加法,一个乘法(减法和除法看做特殊的加法和乘法)。如果只是这样,那不过是两个无关的数学对象,各玩各的就行了,那也没意思了。关键在于所谓的数乘,把实数和三维空间连接起来了,两个数学对象分化结合,产生出来许许多多的有意思东西。

  三维空间很直观,但是太直观,有时候反而是种束缚,就难以透过现象看本质了。

  不妨再看一个例子,连续函数全体。两个函数之间可以定义一个加法,f+g。这里还是一样,只是借用加法这个词,其实f+g怎么加的?细想挺奇妙的。直观看在平面上就是把两个函数图像加一下,得一个新的曲线,就是加的结果。同样,还可以把图像伸缩一下(纵轴),就是所说的数乘。

  对比一下这完全不同的两个对象,发现唯一的共同点是都在里面定义了所谓加法数乘。三维空间里的向量,函数,它们具体是什么东西,不要再管他,只要抓住这个加法和数乘的特点,如此一来,直接在集合上定义加法数乘,岂不去掉了那些个枝节性的表象,把研究的对象直接抽象出来,注意,研究的对象是集合里的元素(所谓的向量)吗?显然不是,而是加法和数乘,正是加法与数乘才赋予了这个集合以意义,有了加法数乘,就把这个集合叫做线性空间,这个集合里的元素叫向量,至于这元素本身是蚂蚁还是大树,根本不重要了。集合只是作为运算的载体而已。

  严格来讲,线性空间有三个部分,一个是数域(重要的是加减乘除这个运算),一个是定义了加法运算的集合,以及连接这两个部分的运算数乘。重要的是运算。所说的线性,本质是对这种运算而言的。

  抓住运算才是本质,后面的概念也就好理解了,一个子空间,一个线性映射,都是干嘛的,一句话,保持加法和数乘运算性质不变。如果变了,那线性空间的概念也就没有意义,直接看成最朴素的集合好了。比如线性空间这个集合的子集,如果这个子集里两个向量相加不在这个子集里,那考虑它有何意义?所以只考虑子空间这种特殊的子集,线性映射也是同样的。

  不要纠结线性这个词,线性这个词,是来描述这里加法数乘运算以及保持运算的映射的特点的。线性代数,最核心的就是这个定义的加法数乘运算本身。

  这种思想(在集合上定义运算,在此基础上再定义保持运算的映射),在代数学习里尤其重要。近世代数基本都是这么玩的。

  不妨多扯两句,我说加法数乘这个运算是核心,那矩阵在线性代数里是什么地位?一方面,可以说是特殊的线性空间,也是特殊的线性映射,换句话说,没有矩阵,不妨碍线性代数体系的构建。只不过从理解的角度从具体操作的角度,矩阵都提供了极好的帮助,以至于初学者以为没有矩阵都不行;另一方面,也可以说矩阵就是线性代数的全部,这是从同构的角度来讲的,也就是说,线性代数里所有的东西,几乎都可以用矩阵来表达。但是,矩阵比较具体,过度地依赖它,至少对抽象思维的训练是不利的。

  从定义上来看,线性空间(也称向量空间vector space,也称线性向量空间linear vector space,都是一个东西)是需要符合除了加法与数乘封闭性外+八条基本性质的空间(就是一个集合,既可以有有限的元素,也可以有无限个元素)。见向量空间。

  1) “线性” 空间的线性一词,指的是加法和数乘(被称作线性运算)的封闭性:

  说人话:这个空间中的两个元素(被叫做向量)相加后的结果还在这个空间(集合)中。这个空间中的元素乘上一个数还在这个空间(集合)中。我们非常希望我们讨论的东西所在的集合拥有这两条性质的,同时很多时候的确有这两条性质存在。比如说我们关注的实数/复数/实向量/复向量/实函数所在的空间。

  2)八条基本性质是关于其中空间中的元素(向量)在加法和数乘下满足的基本规律,比如分配律等等。有了这些规律,才能更好的讨论其他东西。虽然我们经常在用实数空间用这些这些性质,但是数学是一个抽象的过程,简单点可以认为这是对实数空间的抽象。

  3)值得注意的是线性空间中元素(向量),既可以是我们常见的实数组成的向量,也可以是其他,比如一个函数(即一个函数就是一个向量),只要它所在的集合满足加法和数乘的封闭性和八条基本性质,即这个函数所在的集合是一个线性空间。

  何为线性?首先明确的是加法和数乘是线性运算。线性这个定语大多数时候就是想说明我们接下来要讨论的东西关于线性运算有一系列的性质。

  1)比如说有个概念叫做线性子空间(linear subspace),就是想说这个子空间(上述定义的线性空间的子集)对加法和数乘封闭。

  2)再比如说线性方程组,说这个方程组是只包含线)再比如说线性算子(linear operator)。说明这个算子L,有这样的性质,L(ax+by)=a*L(x)+b*L(y),其中a和b是数,x和y是向量。即说明这个算子对于线性组合有如此可以拆解为L(x)和L(y)的线性组合的性质。

  是讨论基本的线性运算的代数学。比如矩阵乘法就是一个线性算子(便于理解可以认为线性算子是矩阵乘法的抽象与推广,事实上这句话很不严格)。很多情况下泛函分析 (functional analysis) 会涉及更多关于线性算子的东西。

  ,易于建模与分析。而且单单线性的参与就可以导出很多理论。1)比如矩阵论。说白了就是有关线性运算的东西的一系列性质。

  3)傅里叶变换。傅里叶变换的正弦函数(或者复正弦函数)乘以原函数积分,本质上是对原函数实施了一个线)比如凸优化理论,其本质是建立在分离定律上的,即两个不交叉的凸集是线性可分的。

  推荐你看:Videos(最近从Khan Academy移出,搬到了youtube上),这个视频系列对初学者打基础很有启发意义。

  什么是线性其实就是定义上看起来那样,在我们信号处理和控制领域更多是强调运算的“齐次性”和“叠加性”。其他答主答得很仔细,也就不多说了。

  1. “线性就像一座动物园里的大象。”这是L. Ljung还是谁在一篇论文里写的。意思是什么呢,线性情况是自然界中非常非常特殊的一种情况,特殊到我至今认为现实世界里并不存在什么线性的系统。这点要认识到。

  2. “为什么我们执着于线性系统,因为我们能解出它!”这是一本非线性教材(忘了是Khalil还是Isidori那本)某一章前面的话。意思是什么呢,目前对于线性系统,我们能得到解析解。解析解的意义非常大,可以直接得到这个系统的所有信息。这就是我们在处理线性系统的时候特别安心的原因。

  3. 我觉得大家还是应该更注重空间的概念,挺有一些学生读到了PhD可对空间的概念和应用还是很生疏的(在控制领域)。。。

  「如果进入科研领域,你就会发现,只要不是线性的东西,我们基本都不会!它是人类少数可以研究得非常透彻的数学基础性框架。学好线性代数,你就掌握了绝大多数可解问题的钥匙。有了这把钥匙,再加上相应的知识补充,你就可以求解相应的问题。不学线% 的人类智慧!非线性的问题极为困难。如果能够把非线性的问题化为线性的,这是我们一定要走的方向。」,万门大学校长童哲如是说。

  从概念上来讲,如果一个向量可以被有限个向量描述,那么说明他们线性相关,否则,则线性无关,例如:

  三维空间中有一个平面,平面上有三个向量两两相交;这时其中任何一个向量都可以被其他两个向量通过缩放长度相加来描述,这时我们说其线性相关,但是注意,他们无法描述平面外的任何一个向量(与平面相交的向量)

  如果,当三个向量线性无关时,你会发现任何两个向量都无法描述第三个,但是通过这三个向量,我们却可以描述空间中的任何一个向量!

  的点可以确定一个平面,为什么要强调不在一条直线上?因为只有这样才能构成两个线性无关的向量用来描述一个平面。

  所以在这里(二维平面)你可以将“线性无关”粗略的描述为“所在直线不平行”,那么“线性”就是“所在直线”

  而三维空间及以上只不过是将二维平面中的性质扩展开来,因为其本身是相似的,只不过用更多的数来描述一条线,用更多的线来组成空间,描述性质。

  当我们描述一个物体在三维空间中的状态时,通常会使用至少三个矢量来描述,向上;向右;向前,这三个矢量方向两两垂直。但事实上,只要是不互相平行的三个矢量就可以在空间中描述物体的状态,但凡缺少一个矢量,那么这个物体就会在其余两个矢量构成的平面中存在两个状态(朝上,朝下),如果缺少两个个,那么就会有无数种状态。所以我们说有限个线性无关矢量构成了一个欧哥空间。

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