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基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究pdf

归档日期:05-03       文本归类:反投影算子      文章编辑:爱尚语录

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  摘要 摘 要 地震预测是基础研究领域的一个重要课题,如果能准确预测即将发生的地震,就 可以在地震来临前及时向政府和人民发出预警信号,帮助人们采取有力措施,避免重 大的人员伤亡和经济损失。 在地震的观测过程中,容易得到地震震级这一变量的时间序列,而根据混沌理论 可以知道,决定系统长期演化的任一变量的时间演化过程,均包含有系统所有变量的 长期演化信息。本文尝试从过去发生的地震震级时间序列寻找地震震级的演化规律, 预测未来可能发生的地震震级大小。 本文首先研究地震震级时间序列的噪声平滑问题,分析噪声的破坏性作用,说明 去噪的重要作用。文中介绍了常用的小波去噪方法,在对小波尺度阈值的选择上,给 出一种改进后的小波方法。对比这两种方法的去噪能力,采用去噪能力强的改进小波 方法对地震震级时间序列进行去噪处理。 其次,分析地震震级时间序列的混沌特性和相空间重构的重要作用,计算地震震 级时间序列的最佳嵌入维数和延迟时间,利用Takens 定理重构地震震级时间序列的 相空间。 最后,介绍常用的前馈神经网络,即BP 网络和RBF 网络,建立地震震级时间 序列的混沌-前馈神经网络模型,进行地震震级时间序列的预测仿真。为了进一步提 高震级的预测精度,本文还介绍了小波神经网络,详细分析小波网络的算法过程,针 对其初始权值和阈值的选取缺点,采用遗传算法对其进行优化,然后应用小波神经网 络和改进的小波神经网络进行地震震级时间序列的预测仿真。比较基于前馈神经网络 和基于小波神经网络的地震震级时间序列预测结果,表明:遗传算法改进后的小波神 经网络具有较高的预测性能,其震级预测精度明显高于其它神经网络,误差也相对较 小。 关键词:震级;时间序列;预测;相空间重构;BP 神经网络;RBF 神经网络; 小波神经网络;遗传算法 I 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 Abstract Earthquake prediction is an important topic for basic research. If an impending earthquake can be accurately predicted, the government and people can get the early warning signal before the earthquake . Then, the local people can take timely effective measures to avoid the significant casualties and economic losses. During the observation of earthquake, it is easy to get the time series of earthquake magnitude. From chaos theory, we have known that the time evolution of any one of variables which determines the systems long-term evolution contains the information of long-term evolution of all variables. This paper attempts to find the evolution of earthquake magnitude from the past earthquake magnitude time series and predict the future earthquake magnitude. Firstly, this paper studies the noise smoothing problem of the earthquake magnitude time series. It also analyzes the devastating effects of the noise and illustrates the important role of denoising. After that, this paper introduces the conventional wavelet denoising method and then gives an improved wavelet method for the choice of the wavelet thresholds. Contrasting the denoising capability of these two methods, the improved wavelet method which has more strong denoising ability is adopted to denoise the earthquake magnitude time series . Secondly, analyze the important roles of the chaotic features and phase space reconstruction of earthquake magnitude time series, calculate the optimal embedding dimension and delay time, and then reconstruct the phase space of earthquake magnitude time series with Takens theorem. Finally, this paper introduces the commonly used feedforward neural network which are BP network and RBF network. Using chaos theory to determine the structure of the neural network, and then predict the earthquake magnitude time series with BP and RBF neural network. In order to further improve the prediction accuracy of earthquake magnitude series, this article introduces the other neural network which is wavelet neural network. Analysing the algorithm of wavelet neural network, we use genetic algorithms to optimize it for overcoming its shortcomings of selecting the initial weights and thresholds. After that, these two wavelet neural networks are used to predict earthquake magnitude time series. Comparing all of predictive results, we will find the improved wavelet neural network has a higher predictive performance. Its prediction accuracy of earthquake magnitude is significantly higher than other neural networks, and its error is relatively II Abstract smaller. Key words: Earthquake Magnitude; Time Series; Prediction; Wavelet Denoising; Phase Space Reconstruction; BP Neural Network; RBF Neural Network; Wavelet Neural Network; Genetic Algorithms; III 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 目 录 摘 要I Abstract II 目 录IV 第一章 绪 论 1 §1.1 课题研究的目的及意义 1 §1.2 地震预测的研究背景及现状 2 §1.2.1 国内外研究现状 2 §1.2.2 地震预测的主要研究方向 3 §1.2.3 混沌理论 4 §1.3 课题的主要内容及结构安排 4 第二章 混沌时间序列的噪声平滑方法 7 §2.1 混沌时间序列的噪声分析及去噪性能标准 7 §2.1.1 混沌时间序列的噪声干扰分析 7 §2.1.2 去噪效果性能标准 8 §2.2 混沌时间序列的去噪方法 8 §2.2.1 常规小波去噪方法 8 §2.2.2 改进小波去噪方法 11 §2.3 仿线 Lorenz 系统混沌时间序列的去噪处理 12 §2.3.2 地震震级时间序列的去噪处理 15 §2.4 本章小结 16 第三章 混沌时间序列的分析与研究 17 §3.1 混沌时间序列的基本概念 17 §3.1.1 混沌的定义 17 §3.1.2 时间序列的定义 18 §3.1.3 典型的混沌系统模型 19 §3.2 相空间重构 20 §3.2.1 G-P 法计算关联维数 21 §3.2.2 互信息法选取延迟时间 22 §3.2.3 Cao 法选取嵌入维数 23 §3.3 混沌的识别方法 24 IV 目录 §3.3.1 Lyapunov 指数 25 §3.3.2 小数据量法计算Lyapunov 指数 25 §3.4 仿线 相空间重构参数的确定 27 §3.4.2 Lyapunov 指数的计算 29 §3.5 本章小结 29 第四章 基于前馈神经网络的地震震级时间序列预测研究 30 §4.1 BP 神经网络 30 §4.1.1 BP 神经网络的网络结构 30 §4.1.2 BP 神经网络的算法 31 §4.2 RBF 神经网络 32 §4.2.1 RBF 神经网络的结构模型 32 §4.2.2 RBF 神经网络的学习算法 33 §4.3 前馈神经网络在地震震级时间序列中的应用 34 §4.3.1 前馈神经网络的预测算法流程 34 §4.3.2 预测性能指标 36 §4.3.3 基于BP 神经网络的地震震级时间序列预测仿线 基于RBF 神经网络的地震震级时间序列预测仿线 预测结果分析与比较 41 §4.4 本章小结 43 第五章 基于小波神经网络的地震震级时间序列预测研究 44 §5.1 小波神经网络预测方法 44 §5.1.1 小波神经网络的结构 44 §5.1.2 小波神经网络的学习算法 46 §5.2 改进的小波神经网络预测方法 48 §5.2.1 遗传算法的基本原理 48 §5.2.2 利用遗传算法优化小波神经网络 48 §5.3 小波神经网络在地震震级时间序列中的应用 50 §5.3.1 基于小波神经网络的地震震级时间序列预测仿线 基于改进小波神经网络的地震震级时间序列预测仿线 与Volterra 自适应滤波器预测模型的比较与分析 54 §5.4 多种预测方法的预测结果分析与比较 56 §5.5 本章小结 59 第六章 地震震级时间序列的GUI 仿线 V 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 §6.1 地震震级时间序列的噪声平滑界面 60 §6.2 相空间重构参数的计算仿线 地震震级时间序列的预测仿线 第七章 总结和展望 68 § 7.1 本文总结 68 § 7.2 展望及有待完善的工作 68 参考文献 70 致谢 74 攻读学位期间的主要成果 75 附录A 76 附录B 79 VI 第一章 绪论 第一章 绪 论 地震是我国主要的自然灾害之一,其破坏力和影响力非常显著,特别是近年来, 地壳板块进入新的活跃期,世界各地地震频发,给世界人民造成巨大的生命和财产损 失。如果能准确地预测出地震,给当地人民以警示,由相关部门做好防护措施,就能 减少人员伤亡和和财产损失。地震的准确预测目前还是世界性难题,是当前迫切需要 解决的主要问题。在此背景下,引出了本文的研究工作。 §1.1 课题研究的目的及意义 在世界范围内,每年大约有 18 个震级在 7.0 级以上的地震发生。自新中国建立 以来,我国多次发生强度不等的地震,其中以1976 年唐山发生的7.6 级地震和2008 年5 月 12 日汶川发生的8.0 级特大地震最为严重,给国家和人民造成巨大的人员伤 亡和经济损失。 人们深刻认识到地震的强大破坏力,早已开展地震的研究工作。在古代,我国著 名的天文学家张衡首先发明了地震仪,主要用于测量地震发生的位置和方向。建国之 初,我国领导人就高度重视地震的研究工作,于 1956 年成立了中国地震局地震研究 所,致力于地震的研究。为了提高地震预警的准确性,我们必须研究和预测地震可能 发生的时间、地点和震级的大小,这样才能够在实际生活中起到确实有效的作用,减 少地震造成的影响。但是,非常可惜,到目前为止,地震预测还不是一项非常精确的 科学研究,人类对地震的观测研究正如同盲人摸象,只窥探出地震的一小部分现象, 还需要人类迎难而上,继续研究。 据记录,世界上第一个成功预测出大地震的例子,是在 1975 年2 月4 日中国辽 宁省海城市发生的7.3 级地震。地震发生前,我国地震研究人员经过细致研究,并结 合以前地震发生的经验,认为海城可能发生强烈地震。当地政府接到地震预报后,迅 速给当地居民发出警告,在地震发生的前一天,政府组织居民疏散到安全地带,避免 了重大人员伤亡。但是不幸的是,1976 年的唐山大地震并没有能够成功预测出来, 它直接造成了23 万多人的死亡,经济损失惨重。 由此可见,地震预测是一项意义重大的研究工作,关乎国家和人民的利益,是广 大人民的迫切需要。我国各个学科的杰出科学家和研究人员都已投身到地震的研究工 作中,运用了地质学、测量学、数字技术、计算机和自动控制技术等相关知识,从各 个角度和领域对地震进行研究,期望能够早日实现对地震的准确预测。 本文在总结前人已取得的成果之上,致力于地震震级时间序列的研究。首先利用 改进小波去噪方法进行震级时间序列的噪声平滑,除去干扰噪声,获取震级的有效信 1 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 号,再运用混沌理论知识确定震级时间序列的混沌特性,利用 Takens 定理重构时间 序列的相空间,并采用神经网络进行震级时间序列的预测,以期使其能够具有有效性 和普适性,提高地震预测的多样性,为地震预测的研究做更多的基础性工作。 §1.2 地震预测的研究背景及现状 §1.2.1 国内外研究现状 二十世纪中期,板块理论被提出后,很快就被人们广泛接受,因为它能够合理地 解释地球上地震带的分布。我国的大陆板块内部极其复杂,因受印度板块向北和太平 [1] 洋板块向西的冲击,其内部构造活动十分激烈 。我国陆地面积仅为全球陆地面积的 1/14,但是却有1/3 的大陆地震位于我国境内,这严重威胁了我国人民群众的生命财 产安全。为此,我国政府投入大量的人力财力对地震进行研究,目前研究进展良好。 据相关文献记载,在地震发生前,多种动物有不同寻常的反应,它们仿佛能够预 测地震的到来。地震发生前,动物最不寻常的情况是,蛇从冬眠中苏醒,爬到地球表 面,且有大量老鼠出现。我国研究人员认为,动物行为的信息对地震预测是至关重要 的,为此,于1968 年成立了邢台观测站,这是世界上第一个以生物观测进行地震预 测的观测站,每当动物出现不寻常的事件,观测站会进行记录报道,这些是作为一种 预测地震的评价方法。其他类似的观测站也相继在各地设立,目前已经形成了具有规 模的观测网络。 随着高新技术的发展,我国地震观测技术也得到了很大的提高,目前我国已建设 有包含7 个国外站台在内的152 个国家数字地震台站、792 个区域数字地震台站、33 个火山数字地震台站和800 套地震仪器。新一代中国数字地震观测系统由国家、区域、 [2] 火山及流动数字地震台网组成而成 。地震勘探采用了测量技术、计算机技术、GPS 技术和卫星遥感技术等高新技术,进行多手段、多方法的观测记录和研究。 日本国土处于地震带,长期受到地震自然灾害的破坏,日本政府和人民向来重视 地震的预报。日本气象厅在2007 年宣布建成大地震预警系统,是世界上最早正式启 [3] 用地震预警系统的国家之一 。日本地震台站和地震台网是世界上最密集的地震观测 网,两个地震台之间的距离仅为 7-10km。大地震发生后,实时监测的地震台能快速 确认,随即发出紧急警报,利用电磁波与地震波的传播速度不同,通过广播、电视和 卫星等方式,向离地震中心一定距离的地区发出地震警报。日本地震预警系统在2011 年3 月 11 日,日本东北太平洋沿海发生的9.0 级大地震中发挥重要作用,在大地震 到来前约一分钟,许多当地居民从电视、广播中获知地震发生的消息,紧急跑到安全 地带,避免了更大的人员伤亡。 在国内外的研究中,根据时间长短来划分,地震预测分临、短、中和长四个时间 2 第一章 绪论 段的预报思路和方法。几天到十多天为临震,几个月为短期,一年至数年为中期,数 年到数十年为长期,不过这并没有明显的分界线,只是人为的划分。据中国地震局地 球物理研究所名誉校长陈运泰院士所言,目前,我国中长期的地震预测水平已经取得 良好进展,预测某地区在几年到几十年间会不会发生地震是有科学依据的,预测结果 [4] 具有很好的参考价值 。相比较而言,短临期地震预测的研究进展更为缓慢,成果不 令人满意。世界上唯一被成功预测出的短临强震是我国辽宁省海城的 1975 年的 7.3 级强震,相隔数十年,至今仍未有第二个短临强震被成功预测。短临震预测目前正面 临着严重的瓶颈,亟需采用新的手段和思路,进行更深入的探索和研究。 §1.2.2 地震预测的主要研究方向 自上世纪六十年代以来,全球主要的地震研究国家开始了有计划的地震预测研 究,目前的研究方向主要有地震活动特点和规律、地震前兆及地震孕育等。但由于地 震发生过程的极端复杂性,以及目前勘探技术与手段的限制,地震预测仍处于探索阶 段,尚未能够形成成熟的地震预测系统理论。下面简要介绍地震预测的三种主要方向: (1) 地震前兆 地震前兆是地球物理状态的变化,是地震发生前的现象,因对其的监测有助于科 学家们研究地震的预测,故而国内外的研究大都是从地震前兆开始着手的。因为地震 前兆预示地震即将发生,如果能够监测到地震的一系列前兆,对地震预报显然有着重 要作用。为此,国内外对地震前兆的研究格外重视,投入大量的人力物力,也取得了 丰硕成果。目前观测到的地震前兆有很多种,主要有P 波的变化、地面的隆起及倾斜、 [5] 氡气排放量的增加、地电阻率的下降、地下水位波动的速度及动物异常等等 。 (2) 统计分析 地震前兆主要研究的是短临震预测,而统计分析方法则主要是针对中长期的地震 预测。分析地震活动变化的时间与空间是一个非常复杂的问题,而统计分析方法首先 需要收集足够数量的地震数据,以概率论和数理统计学作为基础,研究地震的重复性 和规律性。用统计分析方法研究地震预测,目前已得到地震学术界的广泛认可。冯德 [6] 益等 提出了基于地震活动性指标的综合概率预报,用来预测某地区发生最大地震的 [7] 震级范围。张建中等 用周期图方法对汾河渭河地震带进行分析,预测出 2043 年前 后该地区可能出现一次地震活动高潮。除此之外,地震的指数分布、泊松分布、对数 分布和威布尔概率分布等多种模型,都已有前人进行分析和探讨。 (3) 人工神经网络 地震发生的过程是一个非常复杂的非线性物理过程,以当前的技术和手段无法准 确获知地震发生全部过程,故难以建立完整的物理模型。不同于基于模型的技术,人 工神经网络是数据驱动自适应系统,被研究的事物不需要任何先验假设,如果需要也 3 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 是微乎其微的。不但如此,人工智能的归纳性也很好,训练的样本甚至可以是含有噪 声的。对那些含有噪声的多变量非线性系统,人工神经网络方法具有明显的优势,其 自主学习的能力可以较为准确地逼近非线性系统,这些优点对地震的研究显然是有重 要作用的。 §1.2.3 混沌理论 混沌理论主要研究外表呈现混乱、随机现象,内部却具有一定内在联系的系统。 混沌理论是从20 世纪60 年代开始发展起来的,美国气象学家Lorenz[8]在 1963 年研 究气象学问题时,发现了数据的轨迹呈现出类似蝴蝶的曲线,即Lorenz 吸引子,这 是第一个由确定性系统产生混沌解的例子,打破了拉普拉斯的决定论。随后,法国天 文学家Henon 受到Lorenz 吸引子的启发,提出了Henon 映射方程,并提出了“热引 [9] 力崩塌”理论,解释了太阳系稳定性问题 。1975 年,美籍华人李天岩和美国数学家 Yorker 提出著名的Li-Yorker 定理,揭示了运动系统从有序状态到无序状态的演变过 [10] 程 。 在20 世纪80 年代的混沌定量分析阶段,主要研究系统如何从有序状态进入到混 沌状态及混沌性质与特点。美国数学家 Mandelbrot 利用计算机画出第一张彩色的混 沌图像,Mandelbrot 集目前被公认为是混沌的一种标志。从此以后,混沌理论不断得 到发展,特别是 Grassberger 等提出的重构动力系统的方法,通过计算系统某一变量 的时间序列的Lyapunov 指数、分数维、Kolmogorov 熵等混沌系统的特性参数,分析 [11] 系统的混沌特性,使混沌理论能够在实际中得到应用 。 到目前为止,混沌理论已经发展了几十年,广泛运用于天文学、生物学、数学、 物理学、气象学、电子学等各个领域。也被用于与人民群众生产和生活密切相关的研 究领域,如城市的降雨量、城市交通运输能力、农作物害虫预测、股票市场的变化等 等。 §1.3 课题的主要内容及结构安排 本课题来源于广西教育厅项目“基于多传感器信息融合技术的地震预测预报算法 研究”(200911LX98),主要研究地震震级时间序列的预测方法,包括了以下三个方面 的主要内容: (1) 地震震级时间序列的噪声平滑研究。震级时间序列在进行预测研究前,需要 滤除夹杂在震级数据中的噪声,防止数据内的噪声干扰到震级预测的准确度。本文取 Lorenz 系统混沌时间序列的5000 个点,对其添加噪声,然后分别用常规小波去噪方 法及本文提出的改进小波去噪方法对这5000 个数据进行噪声平滑,比较两种方法的 4 第一章 绪论 去噪效果,采用去噪效果最佳的改进小波去噪方法对震级时间序列进行噪声平滑处 理。 (2) 地震震级时间序列的混沌识别与相空间重构。首先计算地震震级时间序列的 Lyapunov 指数,判别地震震级时间序列是否具有混沌特性。若Lyapunov 指数大于零, 说明地震震级时间序列具有混沌特性,然后才能利用混沌理论知识研究地震震级时间 序列。除此之外,采用Cao 法计算地震震级时间序列的嵌入维数,互信息法计算延迟 时间,利用求出的嵌入维数和延迟时间重构地震震级时间序列的相空间。 (3) 地震震级时间序列的预测研究。为了能够提高地震震级时间序列的预测准确 度,本文结合混沌理论知识,采用四种神经网络研究地震震级时间序列,分别为 BP 神经网络、RBF 神经网络、小波神经网络以及利用遗传算法优化后的小波神经网络。 利用这四种神经网络预测地震震级时间序列时,需要不断地调整神经网络参数,通过 多次仿真预测,力使每种神经网络的预测效果都处于最好的状态,最后比较这四种神 经网络的预测效果。 各章主要内容如下: 第一章为绪论,主要阐述本文选题的背景和意义,介绍了地震研究的进展及地震 预测的主要方法,引出本文的主要研究内容与研究思路。 第二章主要研究地震震级时间序列的噪声平滑,首先介绍常用的小波去噪方法, 为了提高地震震级时间序列的去噪效果,给出一种新的去噪方法,即改进小波方法, 主要是对常规小波方法中的尺度阈值做改进。将这两种方法进行仿真对比,对含噪声 Lorenz 系统混沌时间序列进行去噪处理,采用去噪效果最佳的改进小波去噪方法对地 震震级时间序列进行噪声平滑。 第三章主要研究地震震级时间序列的混沌特性鉴别及相空间的重构。首先阐述混 沌和时间序列的概念,简要介绍三个经典的混沌系统模型,分析如何鉴别时间序列是 否具有混沌特性、以及相空间重构的重要性,详细介绍地震震级时间序列的Lyapunov 指数、相空间重构参数计算方法,利用MATLAB 软件进行仿真计算。 第四章主要研究基于前馈神经网络的地震震级时间序列预测,详细说明BP 神经 网络和RBF 神经网络的结构特点及各自的算法过程,结合第三章计算的嵌入维数和 延迟时间,确定网络的各项参数,将改进小波方法噪声平滑后的地震震级数据划分为 训练数据和测试数据,将两部分数据进行相空间重构后,分别用BP 神经网络和RBF 神经网络对地震震级时间序列进行仿真预测,比较预测结果的误差大小。 第五章主要研究基于小波神经网络的地震震级时间序列的仿真预测。首先介绍小 波神经网络的结构特点及算法流程,阐述小波神经网络与BP 网络的关联性,详细说 明遗传算法的基本原理,然后利用遗传算法优化小波神经网络。根据已知的地震震级 时间序列的嵌入维数和延迟时间,确定小波网络的基本参数,震级时间序列的训练样 5 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 本与测试样本与第四章相同,分别用小波神经网络和遗传算法优化后的小波神经网络 进行地震震级时间序列的仿真预测,分析预测结果、比较预测误差的大小。 第六章展示了本文中所用到的MATLAB 程序的GUI 界面,主要分为三部分,分 别是地震震级时间序列的噪声平滑界面、相空间重构参数的计算仿真界面及震级序列 的预测界面。然后,利用这些功能模块对4.0 级以上的地震震级进行去噪处理、相空 间重构和地震震级时间序列的预测仿真 第七章总结了本文的研究工作,分析研究中存在的问题和有待解决的问题,并对 未来的研究工作进行展望。 6 第二章 混沌时间序列的噪声平滑方法 第二章 混沌时间序列的噪声平滑方法 本章主要研究混沌时间序列的噪声平滑问题,首先分析噪声对混沌时间序列造成 的影响,简单介绍常用的小波去噪方法,然后提出一种新的去噪方法,即改进小波方 法,分别利用这两种方法对含白噪声的Lorenz 系统混沌时间序列进行噪声处理,分 析去噪效果,采用去噪能力最强的方法对实际观测的地震震级时间序列进行噪声平滑 处理。 §2.1 混沌时间序列的噪声分析及去噪性能标准 §2.1.1 混沌时间序列的噪声干扰分析 噪声普遍存在于各种事物之中,是有效信号无法避免的干扰。混杂在混沌时间序 列中的噪声信号,其不可预知性及高破坏性会掩盖混沌动力学系统的内在动力学特 性,对系统的准确理解造成不利影响。区别于噪声信号外在的不可预知的随机行为, 混沌信号具有的是内在的随机性,在产生的物理学背景上,其二者却又具有很强的联 系。噪声的产生很大一部分是由于仪器的测量精度或运算精度不够而产生的。混沌系 统最根本特性是对初始条件的敏感性和依赖性,假如噪声对系统的初始条件造成一定 变化,即使是很微小的变化,也会使系统状态的细小差异随着时间演化在有限尺度上 [12] 以指数形式增长,系统的最终状态与原来的状态相差甚远 。在混沌动力系统中,噪 声的影响主要包括以下四个方面[13,14] : (1) 系统内在的混沌吸引子的自相似性被破坏。 (2) 混沌动力系统的特性参数计算错误。 (3) 重构的相空间在小的长度尺度上表现出高维性。 (4) 无论用什么方法,确定性系统的预测精度都明显降低。 关联维数描述了混沌吸引子的自相似结构,噪声对自相似性的破坏可以从关联积 分的计算中看出。上一章中已经提到用G-P 法求取关联维数,当信号包含有噪声时, 计算关联积分将会有很大的误差。对含高斯白噪声的时间序列进行分析,可得出的结 论是估计关联维数所能承受的最大噪声是2%[15] 。随着噪声水平的增大,混沌吸引子 的自相似结构将会逐渐被破坏,原本低维的混沌吸引子表现出高维性,即系统表现出 一种无规律的随机特性。 实际上,在求取时间序列维数的方法中,关联维数是对噪声最不敏感的,当噪声 水平是2% 的时候,Lyapunov 指数是无法计算的。噪声对确定性动力系统的预测也有 着很强的破坏作用,各种预测方法在无噪声的情况下,能够对确定性动力系统做出很 7 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 准确的短期预测,但是噪声的存在会恶化这些方法预测效果,亦会缩短预测的有效步 [15] 长 。这将会在本文的第四章和第五章中进行详细的介绍,并可从时间序列的仿真结 果中看出效果。 §2.1.2 去噪效果性能标准 噪声水平是用来表示信号中噪声含量多少的物理量,现在假设含有噪声的时间序 列是 y (t ) ,t 1,2, ,N , 为时间序列的长度, , 是不含噪声   N y (t ) x (t ) w(t ) {x (t )} 的混沌时间序列,{w(t )}表示的是时间序列内的噪声,则时间序列y (t )的噪声水平 定义是:   (t) / x(t) (2-1)     式中, 表示时间序列的方差,噪声水平 越大,则表示在信号里的噪声越多。 ( )  信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)也是描述信号噪声含量的物理量,它的公式定 义为: SNR 10log  x (t ) / (t ) (2-2) 10      信噪比SNR 越大,表示观测数据中的信号部分越多,噪声含量越小。式子中, 信噪比SNR 的单位为dB 。 在对混沌时间序列消噪后,需要证实并量化在数据中被除去的噪声。这需要考虑 附加在时间序列中的噪声的特性。如果数据是有随机噪声和确定性部分叠加而成的, 那么可以通过计算某些量化指标来确定。现引入一个测量误差来量化去噪方法的效 果,即输入输出误差。当不含噪声的纯信号已知时,去噪后的输入输出误差定义为消 噪后的时间序列 与纯信号 之间的欧氏距离,一般也称为均方根误差,即: y (t ) x(t ) 1 N 2 RMSE y(t ) x(t ) (2-3) N t 1 上述均方根误差( RMSE )是对混沌时间序列的原始轨迹或动力学模型是已知的情 况,但是在实际的应用中,我们往往无法获知信号的原始轨迹或动力学模型,这时可 以把某些数据消噪后的结果,认为是原动力学系统中由各种参数值所产生的一个干净 y (t ) x(t ) 时间序列。此时,式子(2-3) 中的 是消噪后的时间序列,而 则为实际的观测数 据。 §2.2 混沌时间序列的去噪方法 §2.2.1 常规小波去噪方法 一、小波变换的基本概念 Fourier 变换在信号处理领域中的应用非常广泛,它只对时间求积分,去掉了非 8 第二章 混沌时间序列的噪声平滑方法 平稳信号中的突变信号,只适于处理平稳信号,不适于非平稳信号。针对Fourier 变 换在时域没有分辨能力的不足,小波分析被人们提出并得到广泛的应用。 函数的线  L (R) f (t )  f (t ) dt  (2-4)  R  设 2 ,若函数 的傅里叶变换 满足条件: f (t ) L (R )  (t)  (w) 2  (w)  dw  (2-5) w R 则 (t) 为基小波或小波母函数,则f (t ) 的连续小波变换为: 1 t b W (a, b) f (t) ( ) dt, a 0 (2-6) f  a a R 其中, (t) 是 (t) 的复共轭函数,称式子(2-6)是小波函数可容许行条件;W (a, b) 是 f 对小波母函数 进行伸缩或者平移变换得到的系数。 为尺度因子, 为平移因子。  (t) a b 在实际应用中,在计算机上进行运算时,需要将连续小波离散化,找到相互正交 [16] j 的基函数,除去小波系数之间的自相关性 。伸缩因子一般取a a , 是整数, 0 j a 0 ,通常取a 2 。而平移因子 可取均匀离散的值,使 (t kb )( 为整数)能够 b k 0 0 0 覆盖整个时间轴,且信息不会丢失。将连续小波进行离散化时,要使采样时间间隔满 T j 足香农定理,如果尺度j 0 时的采样间隔为 ,则在尺度参数为 之时,采样间隔 2 s j T t 可以取为2 T 。用 将 轴归一化后,f (t ) 的离散小波函数为: s s j  j 2 j W ( j, k) f (t), (t) 2 f (t) (t) dt (2-7) f k  k 式子中, 表示内积运算, j 是 j 的复共轭函数。  (t)  (t) k k 二、小波多分辨率分析原理 1989 年,Mallat[17]在构造正交小波基时提出了多分辨分析,在函数空间内,函数 被描述为一系列近似函数,每个近似函数都是函数 的平滑逼近,这些近似函数是在 f 不同的小波分辨尺度上得到的,也称为多尺度分析。多分辨分析能够得到一系列不同 分辨率的低频逼近信号和高频细节信号,实现在不同分辨率下观测或者处理目标信号 的目的,将分解出来的低频和高频信号进行重构,即可得到原始信号。 2 2 V L (R) 空间中的多分辨分析是定义在L (R) 中的一个子空间序列  ,满足以 m mZ 下条件: (1) 单调性:m n ,有V V 。 m n (2) 渐进完全性: 2 , 。 clos( V ) L (R) V 0 n n   nZ nZ (3) 伸缩规则性:f (t ) V m f (2t ) V m1  V (t k) V (4) Riesz 基存在性: ,使得  为 的Riesz 基。 0 k z 0 但是定义的 V 并不具有正交行,而且Riesz 基 (t k) 在不同尺度上也不     m mZ k z 9 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 具有正交性,可以考虑从嵌套子空间 V 产生一系列正交子空间,先定义 V     m mZ m mZ 2 的正交补空间 W ,即V V W ,V W ,此时 V  W L ( R) ,       m mZ m1 m m m m m mZ m mZ W W ,m n ,因此, W 是 2 上的一组正交子空间。若是基小波 产   L (R)  (t) m n m mZ 生的子小波 构成 的一组正交基,则称 为一正交小波,  (t) W  (t)  (t)  m,n  m  m,n  nZ m,nZ 构成 2 的正交基,称 为尺度 的小波空间。 L (R) W m m 多分辨分析跟人类的视觉系统有惊人的相似,当人在观察某一目标时,设他所处 j 的分辨率为 (或者 ) ,他观察目标所获得的信息是 。而当他向目标走近时,分辨 j 2 V j j 1 率增加至 (或 ) ,此时他观察目标所获得的信息是 ,应比分辨率为 时所获 j 1 2 V j j 1 得的信息更丰富,即V V 。当距离越近,看得越清晰,即分辨率越高;反之,则 j j 1 相反。利用小波多分辨率分解一个信号 ,其基本原理框图如图2.1 所示,这里把信 S S 号 分解为近似部分 和细节部分 。所谓近似部分 ,指的是信号投影到大尺度空 A D A [18] 间中的低频分量,而细节部分 则是指信号中与小尺度空间相对应的高频分量 。 D 小波分解具有的关系是:S A D D D ,对分解后的信号进行重构就是利用这 3 3 2 1 样的原理。 图2.1 小波分解信号原理图 三、常规的小波去噪方法 小波去噪的基本思路是对含有噪声的信号进行多尺度分解,提取各个分解尺度下 的小波系数,对小波系数进行非线性去噪处理之后,利用小波逆变换重构出消噪后的 信号。比如一个实际信号 是由真实信号 和噪声信号 迭加而成的,即 x(t ) s(t ) w(t) x(t ) s(t ) w(t ) x(t ) ,对 进行小波分解,并提取其各个尺度的小波系数,对小波系数 ˆ ˆ s(t ) s(t ) 进行相应的非线性去噪处理之后,利用小波逆变换重构出信号 , 在某种误差 估计下最优逼近真实信号 ,达到了消除噪声的目的。 s(t ) 常见的小波去噪方法主要有三种,分别是小波变换模极大值去噪方法、基于小波 [19] 变换尺度间相关性的去噪方法和小波阈值去噪方法 。本文主要介绍小波的阈值去噪 [20] 方法,该方法是由Stanford 大学的Donoho 教授和Johnstone 教授 在1994 年提出来 的,是一种非线性去噪方法,在最小均方误差意义下可达到近似最优,因此适合用于 混沌时间序列的噪声平滑。 小波阈值去噪方法的主要理论依据是,含噪信号通过小波变换后,能够使信号能 10 第二章 混沌时间序列的噪声平滑方法 量集中在小波域的一些较大的小波系数之中,具有很强的去数据相关性,而噪声能量 却散落在整个小波域内,含噪声的信号经过小波分解后,幅值较大的小波系数以信号 为主,而幅值较小的系数大部分都是噪声,因而通过设定一个阈值,小波系数的幅值 低于该阈值则置为0,高于该阈值的小波系数做相应的“收缩”,或者完整保留。 [2 1] 一般来讲,基于小波变换的混沌信号噪声平滑过程主要包括三个步骤 : (1) 首先选择合适的小波基母函数,确定分解的层次 ,且对含噪信号进行 次 J J 分解计算。 (2) 阈值量化。对于各个尺度的小波系数,低于设定阈值的全部置为 0,而高于 设定阈值的小波系数则给予保留。 (3) 信号重构。根据小波阈值量化后的低频近似信号及各层高频信号进行小波逆 变换,得到消噪后的重构信号 。ˆ s(t ) 三个步骤中,阈值的选取是最关键的,设定阈值的好坏直接关系到噪声平滑的效 果。如果选取的阈值太高,会把大部分信号当成噪声进行处理,造成真实信号的过多 损失,重构后的信号是严重失真的,达不到想要的效果;而阈值太低,则信号中保留 的噪声过高,也达不到去噪的目的。 阈值的选取有硬阈值和软阈值两种方式,假设要选取的阈值为 ,则硬阈值方法  为:   ,    jk jk jk  (2-8)  0 , 其它  k 式子中, 为小波系数估计, 为在尺度 上第 层的小波系数, ,   j k 1,2, ,n jk jk j n N / 2J j 1 J N , 为小波分解的层数, 为信号长度。 j 软阈值方法为:  sign( )(  ),    jk jk jk jk  (2-9)  0 , 其它  硬阈值法和软阈值法在实际应用中都得到了广泛应用,但因为硬阈值函数不是整  体连续的,其小波系数估计在 处不连续,可能导致重构的信号产生振荡,因而在对 混沌时间序列进行去噪时,一般选用软阈值法。 §2.2.2 改进小波去噪方法 对含有噪声的信号进行小波分解时,是将信号分解在不同的频段上,但是如果从 尺度角度来选择阈值,可能会使部分噪声被保留在信号中,有效的信号却被认为是噪 [22] 声信号而被过滤掉 。这就需要根据实际的信号特点来选择阈值,才能够得到更好的 [18] 去噪效果。根据这一要求,本文参照刘玉花 的改进去噪方法,给出了另一种新的改 进小波变换噪声平滑方法,根据不同尺度下的噪声水平来选择阈值,这更加符合实际 11 基于神经网络的地震震级时间序列预测方法研究 应用情况,有利于改善地震震级时间序列的的噪声平滑效果。该方法的主要步骤是: (1) 对混沌信号进行 尺度小波分解,可得到 个细节信号 以及平滑近似信号 J J d j a , ; 要小于 ( 为嵌入维数, 为延迟时间) ,并且小于轨道平均 J j 1,2, ,J J m m  周期。 (2) 平滑近似信号 保持不变,而对 个细节信号进行阈值去噪,具体过程为: a J J ① 对于细节信号 ,j 1, ,J 1,因其信噪比较低,噪声的能量与信号能量 d j 比较接近,故而选取的阈值应该适当提高,阈值的公式如下:   2ln(N) / ln( j 1) (2-10) j  d N 式子中, 是细节信号 的方差, 是信号长度,可以看出阈值 随着 的增大而 1 j j 不断减小,这与噪声在各个尺度上的传播特性相一致。 d ② 对于最高层细节信号 ,因其信噪比高,真实信号的能量较大,所以该尺度 J 的阈值选取应该适当降低,避免过多地滤掉真实信号,其阈值选取公式如下:   2ln(N ) / J (2-11) J a (3) 各个尺度的细节信号 经过阈值量化后为 ,与平滑近似信号 一起,利 d D j j J 用Mallat 的小波重构算法进行信号重构,最终得到噪声平滑后的信号为: J ˆ (2-12) s aJ Dj j 1 §2.3 仿真实例与分析 前面已经介绍了常规的小波去噪方法和改进的小波去噪方法,这里我们将利用这 两种方法对含噪声的 Lorenz 系统混沌时间序列进行噪声平滑,并对比二者的去噪效 果,最后采用去噪效果好的方法对地震震级时间序列进行噪声平滑处理。 §2.3.1 Lorenz 系统混沌时间序列的去噪处理 首先取Lorenz 系统 方向上的5000 个点,如图2.2(a)所示,并向所获得的混沌 x 时间序列添加10%的白噪声,如图2.2(b)所示。 (a) Lorenz 系统原始x(t ) 序列 12

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